2020萍鄉(xiāng)學院專升本《高等數學》考試大綱

一、考試內容及分數分布

第一章  極限（約15%）

考試內容：函數的概念及表示法，函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性，反函數、復合函數和隱函數?；境醯群瘮档男再|及其圖形；數列極限與函數極限的定義、性質，函數的左、右極限；無窮小無窮大及無窮小的比較；極限的四則運算，極限存在的兩個準則，單調有界準則和夾逼準及兩個重要極限。

函數連續(xù)的概念，函數間斷點的類型，初等函數的連續(xù)性。閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質（最大值、最小值定理和介值定理）。

考試要求:

1．理解函數的概念，掌握函數的表示方法。

2．了解函數的奇偶性、單調性、周期性和有界性。

3．理解復合函數的概念，了解反函數及隱函數的概念。

4．掌握基本初等函數的性質及其圖形。

5．會建立簡單應用問題中的函數關系式。

6．理解極限的概念，理解函數左、右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關系。

7．掌握極限的性質及四則運算法則。

8．掌握極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。

9．理解無窮小、無窮大以及無窮小的階的概念，會用等價無窮小求極限。

10．理解函數連續(xù)性的概念，會判別函數間斷點的類型。

11．了解初等函數的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質（最大值、最小值定理、介值定理），并會應用這些性質。

第二章  一元函數微分學（約20%）

考試內容:導數和微分的概念，導數的幾何意義和物理意義。函數的可導性與連續(xù)性之間的關系。平面曲線的切線和法線，基本初等函數的導數，導數和微分的四則運算，反函數、復合函數、隱函數以及參數方程所確定的函數的微分法，高階導數的概念，一階微分形式的不變性，微分在近似計算中的應用。

導數的應用：羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西(CAUCHY)中值定理、泰勒定理；洛必達法則；函數的極值及其求法，函數增減性和函數圖形的凹凸性的判定。函數最大值和最小值的求法。

考試要求:

1．理解導數和微分的概念，理解導數的幾何意義，會求平面曲線的切線方程和法線方程，了解導數的物理意義，會用導數描述一些物理量，理解函數的可導性與連續(xù)性之間的關系。

2．掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法，掌握基本初等函數的導數公式，了解微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性。

3．了解高階導數的概念，會求簡單函數的n階導數。

4．會求分段函數的一階、二階導數。

5．會求隱函數和由參數方程所確定的函數的一階、二階導數，會求反函數的導數。

6．理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理。

7．了解并會用柯西中值定理。

8．理解函數的極值概念，掌握用導數判斷函數的單調性和求函數極值的方法，掌握函數最大值和最小值的求法及其簡單應用。

9．掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。

第三章  一元函數積分學（約20%）

考試內容:原函數和不定積分的概念、不定積分的基本性質、基本積分公式、定積分的概念和性質、定積分中值定理、變上限定積分及其導數牛頓一萊布尼茨公式、不定積分和定積分的換元積分法與分部積分法、簡單有理函數、三角函數的有理式和簡單元理函數的積分、廣義積分的概念及其計算，定積分的應用。

考試要求:

1．理解原函數概念，理解不定積分和定積分的概念，理解定積分中值定理。

2．掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分和定積分的性質及換元積分法與分部積分法。

3．會求簡單有理函數、三角函數有理式及簡單元理函數的積分。

4．理解變上限定積分是其上限的函數及其求導定理，掌握牛頓一萊布尼茨公式。

5．了解廣義積分的概念并會計算廣義積分。

6．掌握用定積分表達和計算一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、平面曲線的弧長、旋轉體的體積及側面積、平行截面面積為已知的立體體積、變力作功、引力、壓力及函數的平均值等）。

第四章  二元函數微分學（約15%）

考試內容:空間解析幾何：向量的概念，向量的線性運算，向量的數量積和向量積的概念及運算，兩向量垂直和平行的條件、兩向量的夾角、向量的坐標表達式及其運算單位、向量方向數與方向余弦曲面方程和空間曲線方程的概念、平面方程、直線方程及其求法 平面與平面、平面與直線、直線與直線的平行、垂直的條件和夾角點到平面和點到直線的距離，球面、母線平行于坐標軸的柱面、旋轉軸為坐標軸的旋轉曲面的方程、常用的二次曲面方程及其圖形。

多元函數微分學：多元函數的概念、極限、連續(xù)；復合函數、隱函數的求導法、二階偏導數；多元函數極值和條件極值的概念、二元函數極值的充分條件、極值的求法、多元函數的最值及其簡單應用。

考試要求:

1. 理解空間直角坐標系，理解向量的概念及其表示。

2．掌握向量的運算（線性運算、數量積、向量積），了解兩個向量垂直、平行的條件。

3．掌握平面方程和直線方程及其求法，會利用平面、直線的相互關系（平行、垂直、相交等）解決有關問題。

4．理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。

5．理解多元函數的概念。

6．了解二元函數的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉域上連續(xù)函數的性質。

7．理解偏導數和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件，以及全微分在近似計算中的應用。

8．掌握復合函數一階、二階偏導數的求法、隱函數的偏導數。

9．理解多元函數極值和條件極值的概念，掌握多元函數極值存在的必要條件，了解二元函數極值存在的充分條件，會求二元函數的極值，會求簡單多元函數的最大值和最小值并會解決一些簡單的應用問題。

第五章 多元函數積分學（約10%）

考試內容:二重積分的計算和應用，二重積分的性質

考試要求:

1．理解二重積分概念，了解重積分的性質、二重積分的中值定理。

2．掌握二重積分（直角坐標、極坐標）的計算方法。

3．會用重積分，求一些幾何量與物理量。

第六章  無窮級數（約10%）

考試內容：常數項級數的收斂與發(fā)散的概念、級數的基本性質、正項級數的比較審斂法、比值審斂法、根值審斂法；交錯級數的萊布尼茨定理；絕對收斂與條件收斂；函數項級數的收斂域與和函數的概念、冪級數的收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）、冪級數在其收斂區(qū)間內的基本性質、簡單冪級數的和函數的求法、初等函數的泰勒展式、麥克勞林（Maclaurin）展式。

考試要求：

1．理解常數項級數收斂、發(fā)散以及收斂級數的和的概念，掌握級數的基本性質及收斂的必要條件。

2．會用正項級數的比較審斂法和根值審斂法，掌握正項級數的比值審斂法。　

3．會用交錯級數的萊布尼茨定理。

4．了解無窮級數絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關系。

5. 了解函數項級數的收斂域及和函數的概念，掌握冪級數的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。

6．了解冪級數在其收斂區(qū)間內的一些基本性質，會求一些冪級數在收斂區(qū)問內的和函數，并會由此求出某些數項級數的和。

7．掌握一些函數的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數間接展開成冪級數。

第七章  常微分方程（約10%）

考試內容：常微分方程的基本概念、微分方程的解、通解、初始條件和特解，變量可分離的方程、齊次方程、一階線性方程、線性微分方程解的性質及解的結構定理、二階常系數齊次線性微分方程、簡單的二階常系數非齊次線性微分方程、微分方程的簡單應用問題。

考試要求：

1．了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解等概念。

2．掌握變量可分離的方程及一階線性方程的解法及齊次方程解法。

3．理解線性微分方程解的性質及解的結構定理。

4．掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法，求二階常系數非齊次線性微分方程的特解和通解。

5．會用微分方程解決一些簡單的應用問題。

二、教材：《高等數學》（上），高等教育出版社，劉鵬林主編；

參考書：《高等數學》（上、下），北京師范大學出版社，彭友花等編。

三、考試題型及比例

填空題：20%；

選擇題：20％；

解答題（包括證明題）：60％。

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