吉利學院2020年專升本《高等數學（經管類）》考試大綱

一、考試說明

考生應按本大綱的要求了解或理解“高等數學”中函數、極限和連續(xù)、一元函數微分學、一元函數積分學的基本概念與基本理論，掌握或者熟練掌握上述各部分的基本方法。應理解各部分知識結構及知識的內在聯(lián)系；應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力；能運用基本概念、基本理論和基本方法，正確地判斷和證明， 準確地計算；能綜合運用所掌握知識分析并解決簡單的實際問題。

對知識的要求依次是了解、理解、掌握三個層次。

（1）了解

要求對所列知識的含義有初步的、感性的認識，知道這一知識內容是什么，按照一定的程序和步驟照樣模仿，并能（或會）在有關問題中識別和認識它。

（2）理解

要求對所列知識內容有較深刻的理性認識，知道知識間的邏輯關系，能夠對所列知識作正確的描述說明并用數學語言表達，能夠利用所學的知識內容對有關問題作比較、判別、討論，具備利用所學知識解決簡單問題的能力。

（3）掌握

要求能對所列的知識內容能夠推導證明，能夠利用所學知識對問題進行分析、研究、討論，并且加以解決。

二、考試形式

考試采用閉卷、筆試形式，考試時間為 120 分鐘，試卷滿分 100 分。

三、考試內容和要求

（一）函數、極限和連續(xù)

1.函數

（1）考試內容

① 函數的概念：函數的定義，函數的表示法，分段函數。

② 函數的簡單性質：單調性、奇偶性、有界性、周期性。

③ 反函數

④ 函數的四則運算與復合運算。

⑤ 基本初等函數：冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、反三角函數。

⑥ 初等函數。

（2）考試要求

① 理解函數的概念，會求函數包括分段函數的定義域、表達式及函數值，并會作出簡單的分段函數圖象。

② 掌握函數的單調性、奇偶性、有界性和周期性定義，會判斷所給函數的相關性質。

③ 理解函數 y = f (x) 與它的反函數 y =f -1 (x) 之間的關系（定義域、值域、圖象）  

會求單調函數的反函數。

④ 掌握函數的四則運算與復合運算，熟練掌握復合函數的復合過程。

⑤ 掌握基本初等函數的簡單性質及其圖象。

⑥ 掌握初等函數的概念。

2.極根

（1）考試內容

① 數列和數列極限的定義。

② 數列極限的性質：唯一性、有界性、四則運算定理、夾逼定理、單調有界數列

極限存在性定理。

③ 函數極限的概念：函數在一點處的極限定義，左、右極限及其與極限的關系， 趨于無窮大（ x ? ￥, x ? +￥, x ? -￥) 時函數極限的定義，函數極限的幾何意義。

④ 函數極限的性質：唯一性、有界性、四則運算定理。

⑤ 無窮小量與無窮大量：無窮小量與無窮大量的定義，無窮小量與無窮大量的性質，兩個無窮小量階的比較。

⑥ 兩個重要極限： lim sin x = 1, lim(1 + 1 ) x = e 。

x?0 x x?￥ x

（2）考試要求

① 了解極限的概念（不要求用"e - N","e - d","e - X " 語言證明具體極限的存在性），掌握函數在一點處的左極限與右極限的概念，極限存在的充分必要條件。

② 了解極限的有關性質，掌握極限的四則運算法則。

③ 理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質，會進行無窮小量階的比較（高階、低階、同階、等價）。

④ 熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。

3.連續(xù)

（1）考試內容

① 函數連續(xù)的概念：函數在一點連續(xù)、左連續(xù)和右連續(xù)的定義，函數在一點連續(xù)的充分必要條件，函數的間斷點及其分類。

② 函數連續(xù)的性質：四則運算連續(xù)性、復合函數連續(xù)性。

③ 閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質：有界性定理、最大值與最小值定理、介值性定理（含零點定理）。

④ 初等函數的連續(xù)性。

2．考試要求

① 理解函數在一點連續(xù)與間斷的概念，掌握判斷函數（含分段函數）在一點處連續(xù)的方法，理解函數在一點連續(xù)與極限存在之間的關系。

② 會求函數的間斷點并確定其類型（第一類間斷點、第二類間斷點）。

③ 理解在閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質。

④ 理解初等函數在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，并會利用函數連續(xù)性求極限。

（二）一元函數微分學

1.導數與微分

（1）考試內容

① 導數概念：導數、左導數與右導數的定義，導數的幾何意義，可導與連續(xù)的關系。

② 導數的基本公式。

③ 求導方法：函數的四則運算求導法、復合函數的求導法、隱函數的求導法、對數求導法、由參數方程所確定的函數的導數求法。

④ 高階導數的定義，高階導數的計算。

⑤ 微分的定義，微分與導數的關系，微分法則，一階微分形式不變性。

（2）考試要求

① 理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續(xù)性的關系，會用定義求函數在一點處的導數。

② 會求曲線上一點處的切線方程和法線方程。

③ 熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則、反函數的求導法則以及復合函數的求導方法。

④ 掌握隱函數的求導法、對數求導法和由參數方程所確定的函數的導數求法。

⑤ 理解高階導數的概念，會求函數的二、三階導數。

⑥ 理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微與可導的關系，會求函數的一階微分。

2.中值定理及導數的應用

（1）考試內容

① 中值定理：羅爾（Rolle）中值定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西

（Cauchy）中值定理。

② 洛必達（L’Hospital）法則。

③ 函數單調性的判定法。

④ 函數極植與極值點、最大值與最小值。

⑤ 曲線的凹凸性、拐點。

⑥ 函數曲線的水平漸近線及鉛垂?jié)u近線。

（2）考試要求

① 了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及其應用，了解柯西中值定理（知道定理的條件及結論）。

② 熟練掌握應用洛必達法則求“ 0 ”“ ￥ ”“ 0 · ￥ ”“ ￥ - ￥”“1￥ ”“ 00 ”和“ ￥0 ”型未定式極限的方法。

③ 掌握利用導數判定函數的單調性及求函數的單調區(qū)間的方法，會利用函數的單調性證明簡單的不等式。

④ 理解函數極值的概念，掌握求函數的極值、最大值和最小值的方法，并會應用極值方法解應用題。

⑤ 會判定曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。

⑥ 會求曲線的水平漸近線及鉛垂?jié)u近線方程。

（三）一元函數積分學

1.不定積分

（1）考試內容

① 原函數與不定積分的定義，不定積分的性質。

② 基本積分公式。

③ 換元積分法：第一換元法（湊微積分法）、第二換元法。

④ 分部積分法。

⑤ 一些簡單有理函數的微積分。

（2）考試要求

① 理解原函數與不定積分的概念及其關系，掌握不定積分的性質。

② 熟練掌握不定積分的基本公式。

③ 熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換無法（僅限三角代換與簡單的根式代換）

④ 熟練掌握不定積分分部積分法。

⑤ 掌握簡單有理函數的不定積分。

2.定積分

（1）考試內容

① 定積分的定義及其幾何意義，可積條件。

② 定積分的性質。

③ 定積分的計算：變上限的定積分，牛頓一萊布尼茲（Nenton-leibniz）公式，

換元積分法，分部積分法。

④ 無窮區(qū)間的廣義積分收斂和發(fā)散的概念。

⑤ 定積分的應用：平面圖形的面積，旋轉的體積、弧長。

（2）考試要求

① 理解定積分的概念與幾何意義，了解函數連續(xù)是可積的充分條件。

② 掌握定積分的基本性質。

③ 理解變上限的定積分是連續(xù)的被積函數的一個原函數，掌握對變上限定積分求導數的方法。

④ 掌握牛頓一萊布尼茲公式。

⑤ 掌握定積分的換元法與分部積分法。

⑥ 了解無窮區(qū)間廣義積分的概念，并會進行計算。

⑦ 掌握直角坐標下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標軸旋轉所生成的旋轉體體積的方法。

⑧ 了解直角坐標下計算平面曲線弧長（含參數方程）的方法。

四 、試卷結構

試題按其難度分為容易、中等題、難題，三種試題分值的比例約為 4：5：1。

五、參考書目

同濟大學數學教研室主編：《高等數學》（第六版）（上冊），北京：高等教育出版社

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